WISLAH MALAYSIA – Berikut adalah himpunan soalan Matematik Tingkatan 3 yang berfokus pada Bab 5, iaitu Nisbah Trigonometri. Bab ini memperkenalkan konsep penting tentang hubungan antara sudut dan sisi dalam segi tiga bersudut tegak. Pemahaman yang kukuh tentang nisbah trigonometri (sinus, kosinus, tangen) adalah asas untuk menyelesaikan pelbagai masalah dalam bidang matematik, fizik, dan kejuruteraan.
Artikel ini menyediakan nota ringkas yang lengkap dan terperinci, soalan objektif, dan soalan subjektif untuk membantu pelajar menguasai topik ini. Trigonometri mungkin tampak mencabar pada awalnya, tetapi dengan latihan yang konsisten dan pemahaman yang mendalam tentang konsep asas, ia akan menjadi lebih mudah.
A. Nota Ringkas: Matematik Tingkatan 3 Bab 5
- Segi Tiga Bersudut Tegak: Segi tiga yang mempunyai satu sudut tepat (90°).
- Nisbah Trigonometri:
- Sinus (sin): Nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus (sin θ = sisi bertentangan / hipotenus)
- Kosinus (cos): Nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus (cos θ = sisi bersebelahan / hipotenus)
- Tangen (tan): Nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan (tan θ = sisi bertentangan / sisi bersebelahan)
- Hubungan antara Nisbah Trigonometri:
- tan θ = sin θ / cos θ
- sin² θ + cos² θ = 1
- Mencari Nilai Sudut: Menggunakan kalkulator saintifik atau jadual trigonometri untuk mencari nilai sudut berdasarkan nisbah trigonometri yang diketahui
- Mencari Panjang Sisi: Menggunakan nisbah trigonometri dan maklumat yang diberikan untuk mencari panjang sisi yang tidak diketahui dalam segi tiga bersudut tegak.
- Sudut Elevasi dan Sudut Tunduk:
- Sudut Elevasi: Sudut yang terbentuk antara garis penglihatan mendatar dengan garis penglihatan ke atas ke arah objek.
- Sudut Tunduk: Sudut yang terbentuk antara garis penglihatan mendatar dengan garis penglihatan ke bawah ke arah objek
B. Soalan Matematik Tingkatan 3 Bab 5
B.1. Soalan Objektif
- Dalam segi tiga bersudut tegak ABC, jika ∠B = 90°, AB = 3 cm, dan BC = 4 cm, berapakah nilai sin A?
- A. 3/5
- B. 4/5
- C. 3/4
- D. 4/3
- Jawapan: B
- Dalam segi tiga bersudut tegak PQR, jika ∠Q = 90°, PQ = 5 cm, dan PR = 13 cm, berapakah nilai cos R?
- A. 5/13
- B. 12/13
- C. 5/12
- D. 12/5
- Jawapan: A
- Dalam segi tiga bersudut tegak XYZ, jika ∠Y = 90°, XY = 8 cm, dan YZ = 6 cm, berapakah nilai tan X?
- A. 3/4
- B. 4/3
- C. 6/8
- D. 8/6
- Jawapan: B
- Jika sin θ = 0.6, berapakah nilai cos θ?
- A. 0.4
- B. 0.8
- C. 1.0
- D. Tidak dapat ditentukan
- Jawapan: B
- Jika cos θ = 5/13, berapakah nilai tan θ?
- A. 5/12
- B. 12/5
- C. 12/13
- D. 13/12
- Jawapan: B
- Jika tan θ = 3/4, berapakah nilai sin θ?
- A. 3/5
- B. 4/5
- C. 3/4
- D. 4/3
- Jawapan: A
- Sebuah tangga yang panjangnya 5 meter bersandar pada dinding. Jika sudut antara tangga dengan tanah ialah 30°, berapakah tinggi dinding yang dicapai oleh tangga tersebut?
- A. 2.5 meter
- B. 2.5√3 meter
- C. 5 meter
- D. 5√3 meter
- Jawapan: A
- Dari suatu titik di atas tanah, sudut elevasi ke puncak sebuah bangunan ialah 45°. Jika jarak titik tersebut dari kaki bangunan ialah 30 meter, berapakah tinggi bangunan tersebut?
- A. 15 meter
- B. 30 meter
- C. 30√2 meter
- D. 60 meter
- Jawapan: B
- Sebuah kapal berlayar ke arah utara sejauh 120 km, kemudian belok ke arah timur dan berlayar sejauh 50 km. Berapakah jarak kapal itu dari kedudukan asalnya?
- A. 70 km
- B. 130 km
- C. 170 km
- D. 240 km
- Jawapan: B
- Seorang pemerhati berdiri pada jarak 20 meter dari sebatang pokok. Sudut elevasi dari mata pemerhati ke puncak pokok ialah 30°. Berapakah tinggi pokok tersebut?
- A. 10 meter
- B. 10√3 meter
- C. 20 meter
- D. 20√3 meter
- Jawapan: B
- Jika sin θ = 1/2 dan 0° ≤ θ ≤ 90°, berapakah nilai θ?
- A. 30°
- B. 45°
- C. 60°
- D. 90°
- Jawapan: A
- Jika cos θ = √3/2 dan 0° ≤ θ ≤ 90°, berapakah nilai θ?
- A. 30°
- B. 45°
- C. 60°
- D. 90°
- Jawapan: A
- Jika tan θ = 1 dan 0° ≤ θ ≤ 90°, berapakah nilai θ?
- A. 30°
- B. 45°
- C. 60°
- D. 90°
- Jawapan: B
- Dalam segi tiga ABC, ∠B = 90°, AB = 8 cm, dan AC = 17 cm. Cari nilai bagi sin C
- A. 8/17
- B. 15/17
- C. 8/15
- D. 15/8
- Jawapan: A
- Sebuah kapal terbang sedang terbang pada ketinggian 1000 meter. Jika sudut tunduk dari kapal terbang ke sebuah bot di laut ialah 30°, berapakah jarak mengufuk antara kapal terbang dengan bot tersebut?
- A. 500 meter
- B. 500√3 meter
- C. 1000 meter
- D. 1000√3 meter
- Jawapan: D
- Dari puncak sebuah bukit, sudut tunduk ke arah sebuah rumah di kaki bukit ialah 60°. Jika jarak mengufuk antara rumah dengan kaki bukit ialah 50 meter, berapakah tinggi bukit tersebut?
- A. 25 meter
- B. 25√3 meter
- C. 50 meter
- D. 50√3 meter
- Jawapan: D
- Dalam segi tiga PQR, ∠Q = 90°, PQ = 7 cm, dan QR = 24 cm. Cari nilai bagi cos P.
- A. 7/25
- B. 24/25
- C. 7/24
- D. 24/7
- Jawapan: A
- Sebuah tiang bendera yang tingginya 10 meter mempunyai bayang-bayang sepanjang 5√3 meter di atas tanah. Berapakah sudut elevasi matahari pada masa itu?
- A. 30°
- B. 45°
- C. 60°
- D. 90°
- Jawapan: C
- Jika 3 tan θ = 4, cari nilai bagi sin θ + cos θ
- A. 1
- B. 7/5
- C. 5/7
- D. 0
- Jawapan: B
- Dalam segi tiga bersudut tegak ABC, jika ∠B = 90°, sin A = 3/5, dan AB = 12 cm, cari panjang BC.
- A. 9 cm
- B. 15 cm
- C. 16 cm
- D. 20 cm
- Jawapan: C
B.2. Soalan Subjektif (beserta Jawapan)
- Lukis sebuah segi tiga bersudut tegak ABC dengan ∠B = 90°, AB = 5 cm, dan BC = 12 cm. Kemudian, cari nilai bagi sin A, cos A, dan tan A.
Jawapan:
- Langkah 1: Lukis Segi Tiga
[Image: A right triangle ABC with right angle at B. AB = 5 cm, BC = 12 cm] - Langkah 2: Cari Panjang Hipotenus (AC)
Menggunakan Teorem Pythagoras:
AC² = AB² + BC²
AC² = 5² + 12²
AC² = 25 + 144
AC² = 169
AC = √169 = 13 cm - Langkah 3: Cari Nilai Nisbah Trigonometri
sin A = BC/AC = 12/13
cos A = AB/AC = 5/13
tan A = BC/AB = 12/5
- Sebuah tangga bersandar pada dinding sebuah rumah. Jika kaki tangga berada 3 meter dari dinding dan sudut antara tangga dengan tanah ialah 60°, berapakah panjang tangga tersebut?
Jawapan:
- Lakaran:
[Image: A ladder leaning against a wall, forming a right triangle. The base of the ladder is 3 meters away from the wall, and the angle between the ladder and the ground is 60 degrees] - Penyelesaian:
Dalam segi tiga bersudut tegak yang terbentuk, kita ada: - Sisi bersebelahan dengan sudut 60° = 3 meter (jarak kaki tangga dari dinding)
- Hipotenus = panjang tangga (yang ingin dicari)
- Kita akan gunakan nisbah kosinus kerana ia melibatkan sisi bersebelahan dan hipotenus.
cos 60° = sisi bersebelahan / hipotenus
1/2 = 3 / hipotenus
hipotenus = 3 × 2 = 6 meter
Jadi, panjang tangga tersebut ialah 6 meter.
- Dari puncak sebuah menara, sudut tunduk ke arah sebuah kereta yang berada di atas tanah ialah 30°. Jika tinggi menara ialah 50 meter, berapakah jarak kereta dari kaki menara?
Jawapan:
- Lakaran:
[Image: A tower with a car on the ground. The angle of depression from the top of the tower to the car is 30 degrees. The height of the tower is 50 meters] - Penyelesaian:
Dalam segi tiga bersudut tegak yang terbentuk, kita ada: - Sisi bertentangan dengan sudut 30° = 50 meter (tinggi menara)
- Sisi bersebelahan dengan sudut 30° = jarak kereta dari kaki menara (yang ingin dicari)
- Kita akan gunakan nisbah tangen kerana ia melibatkan sisi bertentangan dan sisi bersebelahan
tan 30° = sisi bertentangan / sisi bersebelahan
1/√3 = 50 / sisi bersebelahan
sisi bersebelahan = 50 × √3 = 50√3 meter
Jadi, jarak kereta dari kaki menara ialah 50√3 meter.
- Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke arah timur sejauh 80 km ke pelabuhan B. Kemudian, kapal itu berlayar ke arah utara sejauh 60 km ke pelabuhan C.
- (a) Lukiskan gambarajah yang mewakili situasi ini
- Jawapan (a):
[Image: A diagram showing a ship sailing from port A to port B (eastward 80 km) and then to port C (northward 60 km)] - (b) Hitung jarak, dalam km, antara pelabuhan A dan pelabuhan C
- Jawapan (b):
Menggunakan Teorem Pythagoras pada segi tiga ABC:
AC² = AB² + BC²
AC² = 80² + 60²
AC² = 6400 + 3600
AC² = 10000
AC = √10000 = 100 km
Jadi, jarak antara pelabuhan A dan pelabuhan C ialah 100 km
- (c) Cari bearing pelabuhan C dari pelabuhan A.
- Jawapan (c):
- tan ∠BAC = BC/AB = 60/80 = 3/4
- ∠BAC = tan⁻¹(3/4) ≈ 36.87°
- Bearing pelabuhan C dari pelabuhan A
- = 90° – ∠BAC
- ≈ 90° – 36.87°
- ≈ 53.13°
Jadi, bearing pelabuhan C dari pelabuhan A ialah 053.13°
- Sebuah layang-layang diterbangkan dengan tali sepanjang 100 meter. Jika sudut elevasi tali layang-layang ialah 45°, berapakah tinggi layang-layang dari permukaan tanah?
Jawapan:
- Lakaran:
[Image: A kite flying with a string of 100 meters. The angle of elevation of the string is 45 degrees] - Penyelesaian:
Dalam segi tiga bersudut tegak yang terbentuk, kita ada: - Hipotenus = 100 meter (panjang tali)
- Sisi bertentangan dengan sudut 45° = tinggi layang-layang (yang ingin dicari)
- Kita akan gunakan nisbah sinus kerana ia melibatkan sisi bertentangan dan hipotenus
sin 45° = sisi bertentangan / hipotenus
1/√2 = sisi bertentangan / 100
sisi bertentangan = 100 / √2
= (100/√2) × (√2/√2)
= (100√2)/2
= 50√2 meter
Jadi, tinggi layang-layang dari permukaan tanah ialah 50√2 meter
Penutup
Latihan “Soalan Matematik Tingkatan 3 Bab 5 (Nisbah Trigonometri)” ini diharapkan dapat membantu pelajar mengukuhkan pemahaman tentang konsep nisbah trigonometri, sudut elevasi, sudut tunduk dan aplikasi mereka dalam penyelesaian masalah. Dengan latihan yang berterusan, pelajar akan lebih yakin dalam menyelesaikan masalah berkaitan trigonometri dan mengaplikasikannya dalam pelbagai situasi. Selamat belajar dan semoga berjaya!
