Parabola | Rangkuman Materi Matematika Lanjut Kelas 12 | Bab 1 | SMA | Kurikulum Merdeka | Wislah Indonesia |
Parabola
Definisi Parabola
Parabola adalah bentuk geometris yang terbentuk oleh kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tertentu yang disebut fokus (f). Parabola juga memiliki garis khusus yang disebut direktris (d). Pada Gambar 1.22, titik fokus dinyatakan sebagai titik F(0,p) dan garis direktrisnya adalah y = -p.
Persamaan Parabola
Persamaan parabola berpuncak O(0,0) dan sumbu simetris adalah sumbu Y (x = 0)
Persamaan parabola dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa unsur penting, yaitu sumbu simetri, puncak, fokus, dan persamaan garis direktris. Untuk parabola berpuncak di O(0,0) dan sumbu simetris adalah sumbu Y (x=0), pertimbangkan Gambar 1.23.
Misalkan d1 adalah jarak titik P(x,y) ke titik fokus (0,p), dan d2 adalah jarak titik P(x,y) ke garis direktris y = -p. Maka, d1 = √(x-0)^2 + (y-p)^2 dan d2 = √(x-0)^2 + (y-p)^2 atau d2 = p + y.
Definisi parabola menyatakan bahwa jarak titik P ke fokus dan garis direktris haruslah sama, sehingga d1 = d2. Dengan demikian, (√(x-0)^2 + (y-p)^2) = p + y.
Kuadratkan persamaan ini, maka diperoleh x^2 + y^2 – 2yp + p^2 = p^2 + 2py + y^2.
Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut menjadi x^2 = 4py.
Bentuk persamaan x^2 = 4py merupakan persamaan parabola dengan titik fokus di (0, p) dan persamaan garis direktris y = -p atau y = p. Titik puncak parabola tersebut merupakan titik tengah antara fokus dan titik potong sumbu simetri dengan garis direktrisnya, dengan kata lain Puncak P(x,y) = 0, p + (p)/2 = (0,0).
Persamaan parabola berpuncak O(0,0) dan sumbu simetris adalah sumbu X (y = 0)
Untuk parabola berpuncak di O(0,0) dan sumbu simetris adalah sumbu X (y=0), perhatikan Gambar 1.24. Persamaan sumbu simetri adalah y = 0, puncak berada di O(0,0), fokus berada pada titik (p,0), dan persamaan garis direktrisnya adalah l ≡ x = –p atau l ≡ x + p = 0.
Berdasarkan definisi parabola, jarak titik P(x,y) ke fokus dan garis direktris haruslah sama, sehingga d1 = d2. Maka, (√((x-p)^2 + (y-0)^2)) = (x + p).
Kuadratkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh (x-p)^2 + y^2 = (x + p)^2.
Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut menjadi y^2 = 4px.
Bentuk persamaan y^2 = 4px merupakan persamaan parabola dengan puncak di O(0,0), fokus pada titik (p,0), dan persamaan garis direktrisnya adalah x = -p atau x + p = 0.
Persamaan parabola dengan puncak H(m,n)
Untuk menemukan persamaan parabola dengan puncak H(m,n), perhatikan Gambar 1.25. Puncaknya berada di H(m,n), sumbu simetri adalah x=m, persamaan garis direktrisnya adalah y = n – p, dan fokus berada di F(m, n+p).
Berdasarkan definisi parabola, jarak titik P(x,y) ke fokus dan garis direktris harus sama, sehingga d1 = d2.
Maka, (√((x-m)^2 + (y-(n+p))^2)) = (y – (n-p)).
Kuadratkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh (x-m)^2 + (y-(n+p))^2 = (y – (n-p))^2.
Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut menjadi (x-m)^2 = 4p(y-n).
Bentuk persamaan (x-m)^2 = 4p(y-n) ini merupakan persamaan parabola dengan puncak H(m,n), persamaan direktris y = n-p, dan fokus pada titik F(m, n+p).
