Elips | Rangkuman Materi Matematika Lanjut Kelas 12 | Bab 1 | SMA | Kurikulum Merdeka | Wislah Indonesia |
Elips
Definisi Elips
Elips adalah himpunan titik-titik dalam bidang datar di mana jumlah jarak dari dua titik tertentu selalu konstan. Titik-titik ini disebut sebagai fokus. Gambar 1.27 menunjukkan fokus dengan titik F1 dan F2.
Unsur-Unsur Elips
Elips memiliki unsur-unsur yang penting untuk pembentukannya, seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 1.28. Berikut adalah unsur-unsur tersebut:
1. Sumbu Utama dan Sumbu Sekawan: Elips memiliki dua sumbu, yaitu sumbu utama (pada Gambar 1.28 adalah garis yang terletak pada sumbu X) dan sumbu sekawan (pada Gambar 1.28 adalah garis yang terletak pada sumbu Y).
2. Titik Fokus: Elips memiliki dua titik fokus, yaitu F1(–c, 0) dan F2(c, 0) seperti yang terlihat pada Gambar 1.28.
3. Titik Pusat: Titik O(0, 0) merupakan titik tengah kedua fokus elips, yaitu F1(–c, 0) dan F2(c, 0).
4. Sumbu Fokal: Sumbu fokal adalah garis lurus yang menghubungkan kedua titik fokus elips, yaitu garis F1F2 seperti yang terlihat pada Gambar 1.28.
5. Titik Puncak: Titik puncak elips terletak pada perpanjangan sumbu fokal dan membentuk elips. Pada Gambar 1.28, titik-titik puncak tersebut adalah a, –a, b, dan –b.
6. Sumbu Mayor: Sumbu mayor adalah garis yang melalui dua titik fokus dan lebih panjang dari sumbu minor. Pada Gambar 1.28, sumbu mayor dinyatakan sebagai –aa.
7. Sumbu Minor: Sumbu minor merupakan garis lurus yang melalui pusat elips dan tegak lurus terhadap sumbu mayor. Sumbu minor ini lebih pendek daripada sumbu mayor, dan pada Gambar 1.28, sumbu minor adalah –bb.
8. Latus Rectum atau Focal Chord: Latus rectum adalah garis yang melalui salah satu titik fokus dan tegak lurus dengan sumbu mayor. Pada Gambar 1.28, garis KL dan MN merupakan latus rectum. Panjang latus rectum adalah |KL| = |MN| = 2b2/a, dengan koordinat titik K(–c, –b2/a), L(–c, b2/a), M(c, b2/a), dan N(c, –b2/a).
Persamaan Elips
Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0) dan Sumbu Mayornya adalah Sumbu X
Elips adalah himpunan titik-titik dalam bidang datar di mana jumlah jarak dari setiap titik ke dua titik tertentu (fokus) selalu sama. Titik fokus pada elips ditandai sebagai F1(–c,0) dan F2(c,0), seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1.29.
Dalam kasus pertama, ketika pusat elips berada di O(0,0) dan sumbu mayor berada pada sumbu X, maka jumlah jarak titik sembarang P(x,y) ke kedua fokus adalah sama dengan 2a, yaitu F1P + F2P = 2a. Dari sini, didapatkan persamaan x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 yang merupakan bentuk baku dari elips.
Beberapa unsur elips yang penting berdasarkan persamaan x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 adalah sebagai berikut:
1. Fokus elips terletak pada (±c,0) dengan c^2 = a^2 – b^2.
2. Pusat elips terletak pada titik O(0,0).
3. Titik puncak elips berada pada (±a,0).
4. Panjang sumbu mayor adalah 2a, sedangkan panjang sumbu minor adalah 2b.
5. Eksentrisitas (e) adalah suatu ukuran untuk menentukan tingkat melengkungnya elips dan dapat dihitung sebagai e = c/a = √(a^2 – b^2)/a.
6. Persamaan garis direktriks adalah l1: x = a^2/c dan l2: x = -a^2/c.
7. Panjang latus rectum L = 2b^2/a.
Persamaan elips dalam bentuk baku tersebut memberikan informasi penting mengenai sifat-sifat geometris elips, seperti letak fokus, pusat, dan titik puncak. Selain itu, eksentrisitas juga memberikan gambaran mengenai seberapa jauh elips berbeda dari lingkaran. Semua unsur tersebut menjadi penentu dalam memahami karakteristik dan sifat-sifat unik dari elips.
Persamaan Elips dengan Pusat O (0,0) dan Sumbu Mayornya adalah Sumbu Y
Persamaan elips dengan pusat O(0,0) dan sumbu mayor sepanjang sumbu Y adalah x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1. Persamaan ini memiliki berbagai unsur penting dalam geometri elips:
a. Fokus elips terletak pada (0,±c), dengan c^2 = a^2 – b^2. Fokus adalah titik-titik di sepanjang sumbu utama di mana jaraknya terhadap titik-titik pada elips memiliki jumlah yang tetap.
b. Pusat elips terletak pada titik O(0,0). Pusat merupakan titik tengah dari elips dan menjadi pusat simetri.
c. Titik puncak elips berada pada (0,±a). Titik-titik ini merupakan titik tertinggi dan terendah pada elips.
d. Panjang sumbu mayor adalah 2a, sementara panjang sumbu minor adalah 2b. Sumbu mayor adalah sumbu terpanjang elips yang melalui pusat dan fokus, sementara sumbu minor adalah sumbu tegak lurus terhadap sumbu mayor dan melewati pusat.
e. Eksentrisitas (e) mengukur sejauh mana elips berbeda dari lingkaran sempurna. Eksentrisitas dapat dihitung dengan rumus e = c/a = √(a^2 – b^2)/a.
f. Persamaan garis direktriksnya adalah l1: y = a^2/c dan l2: y = -a^2/c. Garis-garis ini adalah dua garis sejajar yang melewati fokus dan pusat elips.
g. Panjang latus rectum L = 2b^2/a. Latus rectum adalah jarak antara dua titik pada elips yang sejajar dengan dua fokus dan melewati pusat elips.
Persamaan elips dalam bentuk tersebut memberikan informasi yang penting mengenai sifat-sifat geometris elips. Seluruh unsur tersebut menjadi penentu dalam memahami karakteristik dan sifat-sifat unik dari elips, termasuk lokasi fokus, pusat, dan titik puncaknya. Selain itu, eksentrisitas dan panjang latus rectum juga menjadi parameter penting dalam menggambarkan bentuk dan ukuran elips secara keseluruhan.
Persamaan Elips dengan Pusat P(m,n) dan Sumbu Mayornya Sejajar Sumbu X
Persamaan elips dengan pusat P(m,n) dan sumbu mayor sejajar sumbu X adalah ((x – m)^2 / b^2) + ((y – n)^2 / a^2) = 1. Persamaan ini menggambarkan elips dengan pusat berada di titik P(m,n) dan sumbu mayor sejajar sumbu X.
Unsur-unsur dari elips dengan persamaan tersebut adalah sebagai berikut:
a. Fokus elips terletak pada titik (m ± c, n), di mana c adalah jarak antara pusat elips P(m,n) dengan salah satu fokus. Nilai c dapat dihitung menggunakan rumus c^2 = a^2 – b^2.
b. Pusat elips terletak pada titik P(m,n), yaitu titik tengah dari elips.
c. Titik puncak elips adalah titik (m ± a, n), di mana a adalah jarak antara pusat elips P(m,n) dengan salah satu titik puncak elips. Nilai a dapat dihitung menggunakan rumus a^2 = b^2 + c^2.
Sementara itu, unsur-unsur lainnya dari elips dengan pusat P(m,n) dan sumbu mayor sejajar sumbu X sama dengan unsur-unsur elips yang memiliki pusat O(0,0) dan sumbu mayor sejajar sumbu X.
Persamaan ini memberikan gambaran geometris tentang elips dengan pusat yang tidak terletak di titik pusat koordinat. Unsur-unsur seperti fokus, pusat, dan titik puncak menjadi penentu bentuk dan ukuran elips secara keseluruhan. Dengan memanfaatkan persamaan ini, kita dapat memahami sifat-sifat khusus dari elips berpusat pada P(m,n) dan sumbu mayor yang sejajar dengan sumbu X.
Persamaan Elips dengan Pusat P(m,n) dan Sumbu Mayornya Sejajar Sumbu Y
Persamaan elips dengan pusat P(m,n) dan sumbu mayor sejajar sumbu Y adalah ((x – m)^2 / a^2) + ((y – n)^2 / b^2) = 1. Persamaan ini menggambarkan elips dengan pusat berada di titik P(m,n) dan sumbu mayor sejajar sumbu Y.
Unsur-unsur dari elips dengan persamaan tersebut adalah sebagai berikut:
a. Fokus elips adalah (m, n ± c), di mana c adalah jarak antara pusat elips P(m,n) dengan salah satu fokus. Nilai c dapat dihitung menggunakan rumus c^2 = a^2 – b^2.
b. Pusat elips terletak pada titik P(m,n), yaitu titik tengah dari elips.
c. Titik puncak elips adalah titik (m, n ± a), di mana a adalah jarak antara pusat elips P(m,n) dengan salah satu titik puncak elips. Nilai a dapat dihitung menggunakan rumus a^2 = b^2 + c^2.
Sementara itu, unsur-unsur lainnya dari elips dengan pusat P(m,n) dan sumbu mayor sejajar sumbu Y sama dengan unsur-unsur elips yang memiliki pusat O(0,0) dan sumbu mayor sejajar sumbu Y.
Persamaan ini memberikan gambaran geometris tentang elips dengan pusat yang tidak terletak di titik pusat koordinat. Unsur-unsur seperti fokus, pusat, dan titik puncak menjadi penentu bentuk dan ukuran elips secara keseluruhan. Dengan memanfaatkan persamaan ini, kita dapat memahami sifat-sifat khusus dari elips berpusat pada P(m,n) dan sumbu mayor yang sejajar dengan sumbu Y.
Sebagai contoh, apabila diketahui fokus elips berada pada titik (4,0) dan (-4,0), serta panjang sumbu mayor adalah 12, maka kita dapat menentukan persamaan elips dengan menggunakan persamaan ((x – m)^2 / a^2) + ((y – n)^2 / b^2) = 1. Selanjutnya, dengan menggantikan nilai m, n, dan a^2 serta menghitung nilai b^2 menggunakan rumus b^2 = a^2 – c^2, kita dapat menemukan persamaan elipsnya yaitu x^2/36 + y^2/20 = 1.
