Lingkaran dan Garis Singgung (Rangkuman Materi Matematika Lanjut Kelas 12 SMA Kurikulum Merdeka) - Wislah.com

Lingkaran merupakan suatu kurva tertutup di mana semua titik pada garis tersebut memiliki jarak yang sama dari titik pusatnya. Konsep garis melengkung dalam definisi ini dapat diartikan sebagai kurva tertutup pada bidang datar atau dimensi dua.

Para ahli juga menggambarkan lingkaran sebagai lintasan suatu titik yang berjarak sama dari titik tertentu dan berada pada suatu bidang datar. Dari pernyataan ini, aspek penting dalam pengertian lingkaran adalah jarak yang selalu sama dan titik tertentu. Jarak yang selalu sama dalam konteks ini merujuk pada jari-jari lingkaran, sedangkan titik tertentu mengacu pada titik pusatnya.

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat O(0,0)

Persamaan lingkaran merupakan suatu representasi matematis yang menghubungkan koordinat titik-titik pada lingkaran dengan jari-jari lingkaran tersebut. Dalam kasus lingkaran dengan pusat di O(0,0), titik O adalah titik asal koordinat kartesian.

Untuk menggambarkan persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r, kita asumsikan A(x,y) sebagai suatu titik sembarang yang terletak pada lingkaran. Titik A tersebut diproyeksikan pada sumbu X, menghasilkan titik A’ dengan koordinat (x,0). Dengan mempertimbangkan segitiga ∆OA’A yang merupakan segitiga siku-siku, kita dapat menyimpulkan bahwa panjang OA adalah jari-jari r, panjang OA’ adalah x, dan panjang AA’ adalah y. Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga tersebut, kita dapat menyusun persamaan sebagai berikut:

OA^2 = OA’^2 + A’A^2

Dengan menggantikan panjang yang diketahui ke dalam persamaan di atas, kita peroleh:

r^2 = x^2 + y^2

Karena A adalah titik sembarang pada lingkaran, persamaan ini dapat digeneralisasi untuk semua titik pada lingkaran. Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r dapat dituliskan sebagai:

x^2 + y^2 = r^2

Contoh Soal:

Untuk mengilustrasikan penggunaan persamaan lingkaran, pertimbangkan suatu lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r = 6. Maka persamaan lingkaran tersebut adalah:

x^2 + y^2 = 36

Dengan demikian, kita dapat menyusun persamaan lingkaran sesuai dengan pusat dan jari-jari yang diberikan.

Persamaan Lingkaran dengan Pusat P (a,b)

Sebelumnya telah dipelajari cara menentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r dalam sistem koordinat kartesian. Namun, lingkaran tidak selalu berpusat di titik O(0,0) atau pusat koordinat. Untuk mengatasi hal ini, kita perlu memahami cara menentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b), yang berarti pusat lingkaran berada pada titik P dengan koordinat (a,b).

Pertimbangkan Gambar 1.10, lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r. Dalam menentukan persamaan lingkaran ini, kita dapat mengadopsi langkah yang sama seperti saat menemukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0). Perhatikanlah segitiga ∆PQ’Q yang terbentuk dalam proses ini.

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga tersebut, kita dapat menyusun persamaan sebagai berikut:

PQ^2 = (Q’P)^2 + (Q’Q)^2

Jari-jari PQ adalah r, panjang Q’P adalah (x-a), dan panjang PQ adalah (y-b). Oleh karena itu, kita dapat menyatakan bahwa:

r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2

Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat di P(a,b) dan jari-jari r dalam bentuk baku.

Contoh Soal:

Misalkan terdapat lingkaran dengan pusat P(1,2) dan jari-jari r = 6. Untuk menentukan persamaan lingkaran tersebut, kita perlu menggantikan nilai a dengan 1, nilai b dengan 2, dan nilai r dengan 6 ke dalam persamaan yang telah disusun, sehingga kita peroleh:

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 36

Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah (x-1)^2 + (y-2)^2 = 36, sesuai dengan pusat dan jari-jari yang diberikan dalam soal.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran dapat diungkapkan dalam dua bentuk, yaitu persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r, serta persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r. Sebagai contoh, persamaan lingkaran (x–1)^2 + (y–2)^2 = 36 dapat diubah menjadi bentuk lain seperti (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) = 36, atau lebih lanjut dapat ditulis sebagai x^2 + y^2 – 2x – 4y – 31 = 0.

Persamaan lingkaran (x–1)^2 + (y–2)^2 = 36 memiliki bentuk yang identik dengan persamaan lingkaran x^2 + y^2 – 2x – 4y – 31 = 0. Dalam Contoh Soal 1.2, persamaan lingkaran ini memiliki pusat P(2,4) dan jari-jari r = 6.

Begitu juga dengan persamaan lingkaran (x+5)^2 + (y–2)^2 = 9 yang identik dengan persamaan lingkaran x^2 + y^2 + 10x – 4y + 20 = 0. Kedua persamaan lingkaran ini memiliki pusat P(–5,2) dan jari-jari r = 3.

Berdasarkan dua contoh penulisan persamaan lingkaran dalam bentuk x^2 + y^2 – 2x – 4y – 31 = 0 dan x^2 + y^2 + 10x – 4y + 20 = 0, dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkaran dapat diekspresikan dalam bentuk umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0, di mana A, B, dan C adalah bilangan real. Bentuk persamaan ini dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Contoh Soal:

Jika sebuah lingkaran memiliki jari-jari r = 3 dan berpusat pada titik P(–1,2), maka persamaan umum lingkaran dapat ditentukan. Berikut adalah langkah penyelesaiannya:

Persamaan lingkaran dalam bentuk baku adalah (x + 1)^2 + (y – 2)^2 = 9.

Jika persamaan tersebut diubah menjadi bentuk umum, maka akan menjadi x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0.

Dengan demikian, bentuk persamaan umum lingkaran dengan pusat P(–1,2) dan jari-jari r = 3 adalah x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0.

Kedudukan Suatu Titik Terhadap Lingkaran

Titik A(x,y) di Dalam Lingkaran

Untuk menentukan apakah suatu titik berada di dalam lingkaran, kita perlu menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk L≡ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2, di mana a dan b merupakan koordinat pusat lingkaran, dan r adalah jari-jari lingkaran. Jika kita memiliki titik A(x,y), maka kedudukan titik A dapat ditentukan dengan memeriksa nilai kuasa titik tersebut.

Jika nilai kuasa titik A(x,y) adalah negatif (KA(x,y) < 0), maka titik A berada di dalam lingkaran. Untuk lebih memahami konsep ini, mari perhatikan Contoh Soal 1.7 dan 1.8, serta Latihan Soal Terbimbing 1.6.

Contoh Soal:

Misalkan terdapat lingkaran dengan persamaan L≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 16, dan kita ingin menentukan apakah titik A(5,–2) berada di dalam lingkaran.

Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Kita perlu memeriksa nilai kuasa titik A(5,–2) terhadap persamaan lingkaran L≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 16.

Menggantikan nilai koordinat titik A ke dalam persamaan lingkaran, kita dapatkan KA(5,–2) = (5–6)^2 + (–2+5)^2 – 16 = (–1)^2 + (3)^2 – 16 = –6.

Karena diperoleh nilai kuasa titik KA(5,–2) < 0, maka dapat disimpulkan bahwa titik A(5,–2) berada di dalam lingkaran L≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 16.

Dalam kasus ini, kita menemukan bahwa nilai kuasa titik A(5,–2) adalah negatif, sehingga titik A berada di dalam lingkaran L≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 16.

Dengan demikian, pengecekan nilai kuasa titik terhadap persamaan lingkaran memungkinkan kita untuk menentukan kedudukan suatu titik apakah berada di dalam lingkaran atau tidak.

Titik A(x,y) pada Lingkaran

Untuk mengetahui apakah suatu titik berada pada lingkaran, kita perlu memanfaatkan persamaan lingkaran dalam bentuk L ≡ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2, di mana a dan b adalah koordinat pusat lingkaran, dan r merupakan jari-jari lingkaran. Untuk menentukan kedudukan titik A(x,y) pada lingkaran, kita perlu memperhatikan nilai kuasa titik tersebut.

Kuasa titik A(x,y) pada lingkaran dinotasikan sebagai KA(x,y) = 0. Apabila nilai kuasa titik A(x,y) adalah nol (KA(x,y) = 0), maka titik A berada pada lingkaran.

Untuk lebih memahami konsep ini, perhatikanlah Contoh Soal 1.9, serta Latihan Soal Terbimbing 1.7 dan 1.8.

Contoh Soal

Misalkan terdapat lingkaran dengan persamaan L ≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 4, dan kita ingin mengetahui apakah titik A(8,–5) berada pada lingkaran tersebut.

Berikut adalah langkah penyelesaiannya:

Kita perlu menghitung nilai kuasa titik A(8,–5) pada persamaan lingkaran L ≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 4.

Menggantikan nilai koordinat titik A ke dalam persamaan lingkaran, kita dapatkan KA(8,–5) = (8–6)^2 + (–5+5)^2 – 4 = (2)^2 + 0 – 4 = 0.

Karena diperoleh nilai kuasa titik KA(8,–5) = 0, maka dapat disimpulkan bahwa titik A(8,–5) berada pada lingkaran L ≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 4.

Dalam kasus ini, nilai kuasa titik A(8,–5) adalah nol, sehingga titik A terletak pada lingkaran L ≡ (x–6)^2 + (y+5)^2 = 4.

Dengan demikian, penentuan apakah suatu titik berada pada lingkaran dapat dilakukan dengan menghitung nilai kuasa titik terhadap persamaan lingkaran. Jika nilai kuasa titik adalah nol, maka titik tersebut berada pada lingkaran.

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Seperti halnya dengan kedudukan titik pada lingkaran, terdapat tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu (a) garis memotong lingkaran, (b) garis menyinggung lingkaran, dan (c) garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran. Kedudukan garis ini dapat dipahami secara geometri, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.14. Namun, untuk melihat kedudukan garis secara aljabar terhadap lingkaran, kita dapat melakukan substitusi persamaan garis (y = mx + k) ke dalam persamaan lingkaran (L ≡ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0).

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Misalkan kita memiliki persamaan garis g dengan bentuk y = mx + k dan persamaan lingkaran L dengan bentuk x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0.

2. Kemudian, kita substitusikan persamaan garis (y = mx + k) ke dalam persamaan lingkaran (L), sehingga diperoleh persamaan berikut:

x^2 + (mx + k)^2 + Ax + B(mx + k) + C = 0.

3. Selanjutnya, kita menyederhanakan persamaan tersebut dengan melakukan ekspansi dan penggabungan suku:

x^2 + m^2x^2 + 2mxk + k^2 + Ax + Bmx + Bk + C = 0.

4. Hasil penyederhanaan tersebut akan membentuk persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0, dengan koefisien a = (1 + m^2), b = (2mk + A + Bm), dan c = k^2 + Bk + C.

Dengan cara ini, kita dapat mengetahui apakah garis g memotong, menyinggung, atau tidak berpotongan serta tidak menyinggung lingkaran dengan melihat nilai dari persamaan kuadrat yang dihasilkan.

Dalam penentuan kedudukan garis terhadap lingkaran, pendekatan aljabar ini memberikan kemudahan dalam analisis dan penyelesaian masalah, selain dari pendekatan geometri yang juga dapat digunakan untuk memahami kedudukan garis secara visual.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Titik Singgung Pada Lingkaran

Untuk menentukan persamaan garis singgung g pada lingkaran L ≡ (x–a)^2 + (y–b)^2 = r^2 di titik T(x1, y1), dapat dilakukan dengan beberapa langkah sebagai berikut:

1. Perhatikan segitiga PT’T, di mana T(x1, y1) adalah titik singgung pada lingkaran. Kemiringan garis PT dapat dinyatakan sebagai mPT = (y1 – b) / (x1 – a).

2. Garis PT dan garis singgung g adalah garis tegak lurus, sehingga mPT * m_g = -1. Dengan demikian, kita dapatkan persamaan untuk m_g sebagai berikut: m_g = – (x1 – a) / (y1 – b).

3. Persamaan garis singgung g sendiri dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (y – y1) = m_g * (x – x1), sehingga diperoleh persamaan: (y – y1) = – (x1 – a) / (y1 – b) * (x – x1).

4. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut menjadi: (x1 – a)(x – x1) + (y – b)(y1 – b) = r^2.

Dengan langkah-langkah di atas, kita dapat menghasilkan persamaan garis singgung g pada lingkaran L di titik T(x1, y1) menjadi: (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r^2.

Perubahan persamaan lingkaran L ≡ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 menjadi persamaan garis singgung pada titik T(x1, y1) yaitu g:(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r^2 merupakan penerapan prinsip bagi adil. Prinsip ini mengubah kuadrat dari persamaan lingkaran menjadi bentuk linier dalam persamaan garis singgung, yang mempermudah analisis dan penyelesaian masalah secara aljabar.

Dengan demikian, langkah-langkah di atas memungkinkan kita untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung T(x1, y1), dengan menggunakan prinsip bagi adil untuk mengubah persamaan lingkaran menjadi persamaan garis yang lebih sederhana.

Kemiringan Garis Singgung pada Lingkaran

Untuk menemukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan persamaan L ≡ x^2 + y^2 = r^2, di mana garis yang dicari adalah y = mx + n, langkah-langkah berikut dapat diikuti:

1. Substitusikan persamaan garis y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x^2 + y^2 = r^2, sehingga diperoleh persamaan x^2 + y^2 = r^2.

x^2 + (mx + n)^2 = r^2.

x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 – r^2 = 0.

2. Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat dengan koefisien a = (1 + m^2), b = 2mn, dan c = (n^2 – r^2). Untuk mengetahui apakah garis tersebut menyinggung lingkaran, perlu diperiksa nilai diskriminan persamaan kuadrat, D = b^2 – 4ac = (2mn)^2 – 4(1 + m^2)(n^2 – r^2) = 4(m^2r^2 – n^2 + r^2).

3. Syarat agar garis menyinggung lingkaran adalah nilai diskriminan D harus sama dengan nol (D = 0). Dengan demikian, kita dapatkan persamaan untuk n sebagai berikut: n^2 = r^2(m^2 + 1).

4. Selanjutnya, nilai n dapat ditentukan sebagai n = ±r√(m^2 + 1).

5. Dengan menyubstitusikan nilai n ke dalam persamaan garis y = mx + n, diperoleh persamaan akhir untuk garis singgung pada lingkaran L ≡ x^2 + y^2 = r^2 dengan kemiringan m, yaitu y = mx ± r√(m^2 + 1).

Dengan langkah-langkah di atas, kita dapat menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan kemiringan m, yang dinyatakan dalam bentuk y = mx ± r√(m^2 + 1). Persamaan ini memberikan garis singgung yang tepat pada lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r.

Titik di Luar Lingkaran yang Menentukan Garis Singgung

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran ketika diketahui sebuah titik di luar lingkaran, dapat digunakan metode garis polar atau garis kutub. Dalam Gambar 1.17, dari titik T(x1, y1) dapat dibuat dua garis yang menyinggung lingkaran, yaitu g1 dan g2.

Kedua garis singgung tersebut adalah g1 yang menyinggung lingkaran di titik A, dan g2 yang menyinggung lingkaran di titik B. Garis yang menghubungkan antara titik A dan titik B disebut dengan garis kutub atau garis polar, sementara titik A dan titik B disebut dengan titik polar atau titik kutub. Penentuan garis polar atau garis kutub pada lingkaran dapat dilihat pada Tabel 1.1.

Tabel 1.1. Persamaan Lingkaran dan Persamaan Garis Polar

– Persamaan Lingkaran: x^2 + y^2 = r^2

– Persamaan Garis Polar: (x–a)(x1–a) + (y–b)(y1–b) = r^2

Sebagai contoh, pertimbangkan Soal 1.16 yang ingin menentukan persamaan garis singgung suatu lingkaran L ≡ (x+2)^2 + (y–1)^2 = 16 yang melalui titik A(2,3).

Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Misalkan salah satu titik polar pada lingkaran adalah P(x1, y1), maka persamaan garis polarnya adalah (x–a)(x1–a) + (y–b)(y1–b) = r^2.

2. Karena titik A(2,3) melalui garis polarnya, maka persamaan garis polarnya adalah (x + 2)(2 + 2) + (y – 1)(3 – 1) = 16, yang setelah disederhanakan menjadi 4x + 2y – 10 = 0 atau y = 5 – 2x.

3. Substitusikan persamaan y = 5 – 2x ke persamaan lingkaran (x + 2)^2 + (5 – 2x – 1)^2 = 16, yang setelah disederhanakan menjadi 5x^2 – 12x + 4 = 0.

4. Dengan menghitung diskriminan (b^2 – 4ac) dari persamaan kuadrat tersebut, diperoleh bahwa x1 = 2/5 atau x2 = 2.

5. Untuk x = 2/5, substitusikan nilai x = 2/5 ke persamaan y = 5 – 2x, sehingga diperoleh y = 21/5.

6. Dengan demikian, kita memperoleh salah satu titik polar yaitu (2/5, 21/5). Persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x + 3)^2 + (y – 1)^2 = 16 yang melalui (2/5, 21/5) adalah 3x + 4y – 18 = 0.

Dengan langkah-langkah tersebut, kita berhasil menentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x + 2)^2 + (y – 1)^2 = 16 yang melalui titik A(2,3) adalah 3x + 4y – 18 = 0.