WISLAH.COM – Berikut “Rumus Aritmatika Bertingkat dan Contoh Soal” untuk siswa SMA/MA/SMK. Barisan aritmatika bertingkat adalah barisan bilangan di mana selisih antara dua suku berurutannya membentuk barisan aritmatika baru. Dalam matematika, barisan ini sering kali muncul dalam berbagai soal dan aplikasi, sehingga pemahaman tentang konsep dan rumusnya sangat penting. Artikel ini akan membahas secara detail tentang barisan aritmatika bertingkat, mulai dari konsep dasar hingga penerapannya dalam penyelesaian soal.
Dengan memahami konsep dan rumus yang terkait, siswa akan dapat menyelesaikan berbagai soal yang melibatkan barisan aritmatika bertingkat dengan lebih mudah dan percaya diri. Selain itu, pemahaman ini juga akan membantu siswa dalam mengembangkan kemampuan berpikir logis dan analitis mereka, yang sangat penting dalam menghadapi tantangan akademik dan kehidupan sehari-hari.
A. Konsep Dasar Barisan Aritmatika Bertingkat
Barisan aritmatika bertingkat, juga dikenal sebagai barisan aritmatika orde kedua, adalah barisan bilangan di mana selisih antara dua suku berurutannya tidak konstan, tetapi selisih-selisih tersebut membentuk barisan aritmatika baru. Dengan kata lain, jika kita memiliki barisan U1, U2, U3, …, maka selisih antara U2 dan U1, U3 dan U2, dan seterusnya, akan membentuk barisan aritmatika. Selisih antara suku-suku pada barisan aritmatika pertama ini disebut sebagai beda tingkat pertama, sedangkan beda pada barisan aritmatika kedua disebut beda tingkat kedua.
Untuk lebih memahami konsep ini, mari kita lihat sebuah contoh. Misalkan kita memiliki barisan 2, 5, 10, 17, 26, …. Jika kita perhatikan selisih antara suku-suku berurutan, kita akan mendapatkan barisan baru 3, 5, 7, 9, …. Barisan baru ini merupakan barisan aritmatika dengan beda 2. Oleh karena itu, barisan awal 2, 5, 10, 17, 26, … disebut sebagai barisan aritmatika bertingkat.
B. Rumus Umum Barisan Aritmatika Bertingkat
Rumus umum untuk suku ke-n (Un) pada barisan aritmatika bertingkat adalah sebagai berikut:
- Un = a + (n-1)b + ½ (n-1)(n-2)c
di mana:
- a = suku pertama barisan
- b = beda tingkat pertama
- c = beda tingkat kedua
- n = urutan suku yang ingin dicari
C. Contoh Soal dan Penyelesaian
- Diketahui barisan aritmatika bertingkat 2, 5, 10, 17, 26, …. Tentukan suku ke-10 barisan tersebut!
- Penyelesaian:
- Dari barisan tersebut, kita dapat mengetahui bahwa:
- a = 2 (suku pertama)
- b = 3 (beda antara suku kedua dan pertama)
- c = 2 (beda antara beda-beda suku berurutan)
- Dengan menggunakan rumus umum, kita dapat mencari suku ke-10 (U10):
- U10 = a + (n-1)b + ½ (n-1)(n-2)c
- U10 = 2 + (10-1)3 + ½ (10-1)(10-2)2
- U10 = 2 + 9*3 + ½ * 9 * 8 * 2
- U10 = 2 + 27 + 72
- U10 = 101
- Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 101.
- Dari barisan tersebut, kita dapat mengetahui bahwa:
- Suku ke-5 dan ke-8 suatu barisan aritmatika bertingkat berturut-turut adalah 21 dan 32. Jika beda tingkat keduanya adalah 2, tentukan suku pertama barisan tersebut!
- Penyelesaian:
- Diketahui:
- U5 = 21
- U8 = 32
- c = 2
- Kita akan menggunakan rumus umum untuk mencari nilai a (suku pertama) dan b (beda tingkat pertama).
- Dari U5 = 21, kita dapatkan:
- 21 = a + 4b + ½ * 4 * 3 * 2
- 21 = a + 4b + 12
- a + 4b = 9 …(persamaan 1)
- Dari U8 = 32, kita dapatkan:
- 32 = a + 7b + ½ * 7 * 6 * 2
- 32 = a + 7b + 42
- a + 7b = -10 …(persamaan 2)
- Eliminasi persamaan 1 dan 2, kita dapatkan:
- 3b = -19
- b = -19/3
- Substitusi nilai b ke persamaan 1, kita dapatkan:
- a + 4 (-19/3) = 9
- a – 76/3 = 9
- a = 9 + 76/3
- a = 103/3
- Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 103/3
- Diketahui:
- Jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmatika bertingkat adalah 50. Jika suku pertamanya adalah 1 dan beda tingkat keduanya adalah 2, tentukan beda tingkat pertamanya!
- Penyelesaian
- Diketahui
- a = 1
- c = 2
- S5 = 50 (jumlah 5 suku pertama)
- Kita akan menggunakan rumus umum suku ke-n dan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika bertingkat
- Sn = ½ n [2a + (n-1)b + ⅓ (n-1)(n-2)c]
- Dari S5 = 50, kita dapatkan
- 50 = ½ * 5 * [2.1 + (5-1)b + ⅓ (5-1)(5-2)2]
- 50 = 5/2 * [2 + 4b + 8/3 * 2]
- 50 = 5/2 * [2 + 4b + 16/3]
- 10 = 1/2 * [6/3 + 12b/3 + 16/3]
- 20 = 1/2 * [12b/3 + 22/3]
- 40 = 12b/3 + 22/3
- 120 = 12b + 22
- 12b = 98
- b = 98/12 = 49/6
- Jadi beda tingkat pertamanya adalah 49/6
- Diketahui
Penutup:
Demikian pembahasan lengkap mengenai “Rumus Aritmatika Bertingkat dan Contoh Soal“. Semoga dapat memberikan gambaran yang jelas dan mudah dipahami tentang konsep, rumus, serta penerapannya dalam penyelesaian soal. Dengan pemahaman yang baik tentang materi ini, diharapkan siswa dapat lebih percaya diri dan berhasil dalam menghadapi berbagai tantangan matematika yang melibatkan barisan aritmatika bertingkat.
